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Newton-Verfahren: Unterschied zwischen den Versionen
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''von Clemens Werkmeister'' | |||
<html><img src="http://vg06.met.vgwort.de/na/4aee884c882e4e848559919a07f31b48" width="1" height="1" alt=""></html> | |||
== Zweck des Newton-Verfahrens == | == Zweck des Newton-Verfahrens == | ||
Das '''Newton-Verfahren''' dient in der Investitions- und Finanzierungsrechnung zur Bestimmung des [[interner Zinsfuß|internen Zinsfußes]]. Allgemein ist das Newton-Verfahren ein Verfahren zur numerischen Bestimmung von Nullstellen einer stetig differenzierbaren Funktion f(x). Dazu gehören auch Polynome wie in den [[ | Das '''Newton-Verfahren''' dient in der Investitions- und Finanzierungsrechnung zur Bestimmung des [[interner Zinsfuß|internen Zinsfußes]]. Allgemein ist das Newton-Verfahren ein Verfahren zur numerischen Bestimmung von Nullstellen einer stetig differenzierbaren Funktion f(x). Dazu gehören auch Polynome wie in den [[Kapitalwert|Kapitalwertfunktionen]]. | ||
Das Newton-Verfahren geht iterativ vor: Aufgrund einer vorhandenen Näherungslösung x<sub>0</sub> wird die nächstbessere Näherungslösung x<sub>n+1</sub> wie folgt berechnet: | Das Newton-Verfahren geht iterativ vor: Aufgrund einer vorhandenen Näherungslösung x<sub>0</sub> wird die nächstbessere Näherungslösung x<sub>n+1</sub> wie folgt berechnet: | ||
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== Beispiel zur Bestimmung eines internen Zinsfußes== | == Beispiel zur Bestimmung eines internen Zinsfußes== | ||
Für ein Projekt mit der Zahlungsreihe (-1200; 600; 600; 300) | Für ein Projekt mit der Zahlungsreihe (-1200; 600; 600; 300) lauten die Endwertfunktion EW(q) und die Ableitung EW'(q): | ||
EW(q) = -1.200 · q<sup>3</sup> + 600 · q<sup>2</sup> + 600 · q + 300. | EW(q) = -1.200 · q<sup>3</sup> + 600 · q<sup>2</sup> + 600 · q + 300. | ||
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[[Datei:CW_Newton_Beispiel.png]] | [[Datei:CW_Newton_Beispiel.png]] | ||
Ausgehend vom Zinssatz 0% als Schätzwert (bzw. dem Zinsfaktor | Ausgehend vom Zinssatz 0% als Schätzwert (bzw. dem Zinsfaktor q_0 = 1) ergibt sich folgende Näherungsfolge: | ||
{|align="center" border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | {|align="center" border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
|Iteration|| | |Iteration<br/> n||Zinsfaktor<br>q<sub>n</sub>||EW(q<sub>n</sub>)||EW'(q<sub>n</sub>) | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| | |0||1,0000||300,00||-1.800,00 | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| | |1||1,1667||-88,89||-2.900,00 | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| | |2||1,1360|| -3,35||-2.682,69 | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| | |3||1,1348|| -0,01||-2.673,99 | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| | |4||1,1348|| 0,00||-2.673,97 | ||
|} | |} | ||
Damit ergibt sich bereits nach wenigen Iterationen eine hinreichend genaue Annäherung an den internen Zinsfaktor | Damit ergibt sich bereits nach wenigen Iterationen eine hinreichend genaue Annäherung an den internen Zinsfaktor q = 1,1348 bzw. den [[interner Zinsfuß|internen Zinsfuß]] 13,48%. | ||
Die notwendige Anzahl an Iterationen hängt von der Art der Kapitalwert- bzw. Endwertfunktion ab. Bei Kapitalwertfunktionen für Normalprojekte (mit einer Anfangsinvestition und periodischen späteren Einnahmenüberschüssen) konvergiert das Newton-Verfahren vergleichsweise schnell. Bei anderen Kapitalwertfunktionen kann es vorkommen, dass das Newton-Verfahren nicht oder nicht zur gewünschten Nullstelle konvergiert (zu Beispielen von Projekten mit mehreren internen Zinsfüßen vgl. Troßmann (1998). | Die notwendige Anzahl an Iterationen hängt von der Art der Kapitalwert- bzw. Endwertfunktion ab. Bei Kapitalwertfunktionen für Normalprojekte (mit einer Anfangsinvestition und periodischen späteren Einnahmenüberschüssen) konvergiert das Newton-Verfahren vergleichsweise schnell. Bei anderen Kapitalwertfunktionen kann es vorkommen, dass das Newton-Verfahren nicht oder nicht zur gewünschten Nullstelle konvergiert (zu Beispielen von Projekten mit mehreren internen Zinsfüßen vgl. Troßmann (1998). | ||
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zur Übung siehe auch [[Financial Exercises 3: NPV and IRR]] | |||