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Annuität: Unterschied zwischen den Versionen
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→Berechnung der Annuität
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== Berechnung der Annuität == | == Berechnung der Annuität == | ||
Aus diesen beiden Überlegungen heraus ergibt sich auch die Berechnung der Annuität. Die Zahlung der Annuität über eine festgelegte Anzahl von | Aus diesen beiden Überlegungen heraus ergibt sich auch die Berechnung der Annuität. Die Zahlung der Annuität über eine festgelegte Anzahl von t Perioden muss gleichwertig sein zu den unregelmäßigen Projektzahlungen und auch zu deren Kapitalwert. | ||
Bezeichnet man den Kapitalwert des Projekts mit C, den Zinsfaktor q = (1 + | Bezeichnet man den Kapitalwert des Projekts mit C, den Zinsfaktor q = (1 + i) und die Annuität mit B, so gilt: | ||
Kapitalwert Annuität über | Kapitalwert der Annuität über t Perioden = Kapitalwert des Projekts | ||
Multipliziert man beide Seiten dieser Bedingungsgleichung mit q | Multipliziert man beide Seiten dieser Bedingungsgleichung mit q<sup>t</sup> bzw. q<sup>t+1</sup>, so erhält man die beiden Bedingungen: | ||
C · q<sup>t+1</sup> = B · q<sup>t</sup> + B · q<sup>t-1</sup> + B · q<sup>t-2</sup> + ... + B · q<sup>2</sup> + B · q | |||
C · q | |||
und | und | ||
C · q | C · q<sup>t</sup> = B · q<sup>t-1</sup> + B · q<sup>t-2</sup> + B · q<sup>t-3</sup> + ... + B · q + B | ||
Subtraktion der zweiten Bedingung von der ersten führt zu: | Subtraktion der zweiten Bedingung von der ersten führt zu: | ||
C · (q | C · (q<sup>t+1</sup> - q<sup>t</sup>) = B · q<sup>t</sup> - B | ||
Auflösen nach B ergibt: | Auflösen nach B ergibt: | ||
B = (q-1)· q | B = (q-1)· q<sup>t</sup>/(q<sup>t</sup> - 1) · C | ||
Die Annuität ist daher ein Bruchteil des Kapitalwertes. Dieser Bruchteil heißt '''Annuitätenfaktor''' w<sub>i,t</sub>. Seine Höhe hängt vom Zinsfaktor q bzw. vom Zinssatz i sowie von der Anzahl t der Perioden ab, über die die Annuität gezahlt wird. Es gilt: | |||
w<sub>i,t</sub> = (q-1)· q<sup>t</sup>/(q<sup>t</sup> - 1) mit q = 1+i. | |||
Für einen Zinssatz von 10 % und eine Laufzeit von drei Jahren ergibt sich ein Wiedergewinnungsfaktor w<sub>10%, 3</sub> = 0,402115. | |||
== Kapitalwertberechnung mit dem Rentenbarwertfaktor == | |||
Der Kehrwert des Annuitätenfaktors heißt '''Rentenbarwertfaktor.''' Der Name verdeutlicht, dass der Barwert einer Reihe von Zahlungen in gleichbleibender Höhe (dies wird in der Finanzmathematik als '''Rente''' bezeichnet) durch Multiplikation der Rente mit dem Rentenbarwertfaktor berechnet werden kann. Der Rentenbarwertfaktor hängt damit ebenfalls nur vom Zinssatz i und der Laufzeit t der Rente ab und lautet: | |||
RBF<sub>i,t</sub> = (q<sup>t</sup> - 1)/((q-1)· q<sup>t</sup>). | |||
Für das obige Beispiel einer Annuität über drei Jahre ergibt sich bei einem Zinssatz von 10% ein Rentenbarwertfaktor RBF<sub>10%, 3</sub> = 2,48685. | |||
== Kapitalwert einer ewigen Rente == | |||
Über den Rentenbarwertfaktor lässt sich der Kapitalwert einer gleichförmigen Zahlung in den Perioden 0, 1, 2, ..., t berechnen. Fällt diese Zahlung unbegrenzt an, spricht man von einer '''ewigen Rente.''' Ihr Kapitalwert lässt sich über den Grenzwert des Rentenbarwertfaktors für t->∞ bestimmen. Der Rentenbarwertfaktor vereinfacht sich dann auf 1/i. Damit gilt für den Kapitalwert einer ewigen Rente in Höhe von B: | |||
C = B/i. | |||
== Vorschüssige und nachschüssige Annuitäten (Renten) == | |||
Die bisherige Annuitätenrechnung geht von einer Annuitäten- bzw. Rentenzahlung zum Ende der Jahre 1, 2, ..., t aus und berechnet deren Kapitalwert im Jahr 0. Solche Rentenzahlungen zum Ende einer Periode heißen auch nachschüssige Renten, im Gegensatz zu '''vorschüssigen Renten,''' die zu Beginn einer Periode gezahlt werden. Eine Rente, die zu Beginn einer Periode gezahlt wird, kann vereinfachend wie eine Rente zum Ende der jeweiligen Vorperiode behandelt werden. Dies entspricht einer Annuitätenzahlung in den Perioden 0, 1, 2, ..., t-1. Damit lässt sich eine solche vorschüssige Rente durch einfaches Abzinsen der nachschüssigen Rente bestimmen. | |||
== Investitionsbeurteilung anhand der Annuität == | == Investitionsbeurteilung anhand der Annuität == | ||