Nutzenerwartungswert und Sicherheitsäquivalent
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Nutzenerwartungswert und Sicherheitsäquivalent bei exponentieller Nutzenfunktion und normalverteilten Ergebnisgrößen
Wichtige betriebswirtschaftliche Entscheidungs- und Anreizmodelle (bspw. das LEN-Modell) nutzen die rechentechnische Vorteile aus, die bestimmte Risikonutzenfunktionen und Annahmen zur Wahrscheinlichkeitsverteilung bieten. Eine exponentialverteilte Nutzenfunktion xxx hat konstante absolute Risikoaversion r. Für diese Nutzenfunktion lässt sich bei normalverteilter Zufallsvariable x als Ergebnisgröße das Sicherheitsäquivalent in besonders einfacher Form ausdrücken. Dies gilt auch für lineare Transformationen der Ergebnisgröße. Solche liegen vor, wenn die Ergebnisgröße x(a) linear in Abhängigkeit einer Einflussgröße a (bspw. der Anstrengung) und eines normalverteilten Störterms e mit Erwartungswert null und Varianz s² ausgedrückt werden kann.
xxx
Herleitung des Sicherheitsäquivalents
Mit diesen Festlegungen bestimmt sich das Sicherheitsäquivalent der exponentiellen Nutzenfunktion xxx aus dem Erwartungswert des Ergebnisses abzüglich einer Risikoprämie:
xxx
Das Ausmaß der Risikoprämie hängt von der Risikoaversion der Nutzenfunktion sowie der Varianz des Ergebnisses ab.
Die Herleitung des Sicherheitsäquivalents beruht darauf, dass der Erwartungsnutzen E[u(a)] gleich dem Nutzen des Sicherheitsäquivalents u(SÄ(a)) ist. Für den erwarteten Nutzen E[u(a)] in Abhängigkeit der Anstrengung a gilt (zur übersichtlicheren Darstellung wird im Folgenden nur m und s verwendet):
xxx
Substituiert man nun den Exponenten gemäß
xxx
so erhält man für den Erwartungsnutzen:
xxx
Herleitung der Substitution des Exponenten in der Erwartungsnutzenberechnung
Bei der Berechnung des Erwartungswerte des Nutzens bei exponentieller Nutzenfunktion und normalverteilten Ergebnisgrößen lässt sich die Substitution
xxx
durch Umformung der rechten Seite folgendermaßen herleiten:
xxx
Bei anderen Nutzenfunktionen lässt sich diese Form des Sicherheitsäquivalents nur näherungsweise über Taylor-Approximationen herleiten.
Anwendung im LEN-Modell
Die Berechnung des Sicherheitsäquivalents lässt sich auch auf Nutzenfunktionen mit Ergebnissen bzw. Entlohnungen mit fixen und variablen Bestandteilen sowie Arbeitsleid übertragen. Dies wird insbesondere im LEN-Modell ausgenutzt. Dort wird für den Agenten ebenfalls eine exponentielle Nutzenfunktion uA mit normalverteilter Ergebnis- bzw. Entlohnungsgröße unterstellt (vgl. Burr/Stephan/Werkmeister [Unternehmensführung 2011] 286):
mit rA als Risikoaversionskoeffizient, xxx als Arbeitsleidfunktion und xxx als linearer Entlohnungsfunktion des Agenten mit dem Prämienfaktor v für die erfolgsabhängige Entlohnung und dem Fixum f.
xxx
Dann gilt für das Sicherheitsäquivalent SÄ des Agenten:
xxx
Dies lässt sich ohne Weiteres durch eine entsprechende Exponentensubstitution herleiten. Bemerkenswert ist lediglich, dass der Prämienfaktor v auch die Varianz des Ergebnisses beeinflusst und daher in die Risikoprämie eingeht.
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siehe auch:
Christensen, Peter O./Feltham, Gerald H.: Economics of Accounting I: Information in Markets. Berlin et al. 2002, S. 54 f.
Burr, W./Stephan, M./Werkmeister, C.: Unternehmensführung. 2. Aufl., München 2011.