Newton-Verfahren
von Clemens Werkmeister
Zweck des Newton-Verfahrens
Das Newton-Verfahren dient in der Investitions- und Finanzierungsrechnung zur Bestimmung des internen Zinsfußes. Allgemein ist das Newton-Verfahren ein Verfahren zur numerischen Bestimmung von Nullstellen einer stetig differenzierbaren Funktion f(x). Dazu gehören auch Polynome wie in den Kapitalwertfunktionen.
Das Newton-Verfahren geht iterativ vor: Aufgrund einer vorhandenen Näherungslösung x0 wird die nächstbessere Näherungslösung xn+1 wie folgt berechnet:
xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn).
Dies wird wiederholt, bis der Funktionswert hinreichend nahe am Zielwert (insbesondere null) ist.
Bestimmung eines internen Zinsfußes mit dem Newton-Verfahren
Zur Bestimmung eines internen Zinsfußes i* als Nullstelle der Kapitalwertfunktion C(i) sind zwei Anpassungen der Kapitalwertfunktion zweckmäßig:
(i) ist es zweckmäßig, die Kapitalwertfunktion mit dem Diskontierungsfaktor der letzten Periode zu multiplizieren, um die Variablen aus dem Nenner zu beseitigen. Inhaltlich entspricht dies der Bestimmung der Nullstelle der Endwertfunktion EW.
(ii) erhöht die Verwendung des Zinsfaktors q = 1 + i die Übersichtlichkeit.
Die Bestimmung des internen Zinsfußes entspricht dann der Lösung der Gleichung:
unter Berücksichtigung der Ableitung:
.
Beispiel zur Bestimmung eines internen Zinsfußes
Für ein Projekt mit der Zahlungsreihe (-1200; 600; 600; 300) lauten die Endwertfunktion EW(q) und die Ableitung EW'(q):
EW(q) = -1.200 · q3 + 600 · q2 + 600 · q + 300.
EW'(q) = -3.600 · q2 + 1.200 · q + 600.
Daraus folgt für die Regel zur Bestimmung der Näherungslösungen:
Ausgehend vom Zinssatz 0% als Schätzwert (bzw. dem Zinsfaktor q_0 = 1) ergibt sich folgende Näherungsfolge:
| Iteration n |
Zinsfaktor qn |
EW(qn) | EW'(qn) |
| 0 | 1,0000 | 300,00 | -1.800,00 |
| 1 | 1,1667 | -88,89 | -2.900,00 |
| 2 | 1,1360 | -3,35 | -2.682,69 |
| 3 | 1,1348 | -0,01 | -2.673,99 |
| 4 | 1,1348 | 0,00 | -2.673,97 |
Damit ergibt sich bereits nach wenigen Iterationen eine hinreichend genaue Annäherung an den internen Zinsfaktor q = 1,1348 bzw. den internen Zinsfuß 13,48%.
Die notwendige Anzahl an Iterationen hängt von der Art der Kapitalwert- bzw. Endwertfunktion ab. Bei Kapitalwertfunktionen für Normalprojekte (mit einer Anfangsinvestition und periodischen späteren Einnahmenüberschüssen) konvergiert das Newton-Verfahren vergleichsweise schnell. Bei anderen Kapitalwertfunktionen kann es vorkommen, dass das Newton-Verfahren nicht oder nicht zur gewünschten Nullstelle konvergiert (zu Beispielen von Projekten mit mehreren internen Zinsfüßen vgl. Troßmann (1998).
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zur Übung siehe auch Financial Exercises 3: NPV and IRR