Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen

In zahlreichen betriebswirtschaftlichen Anwendungen wird eine normalverteilte Zufallsvariable unterstellt. Hier wird die Berechnung der beiden zentralen Risikokennzahlen Erwartungswert und Varianz für diesen Verteilungstyp erläutert.

Berechnung des Erwartungswerts

Der Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen x (mit x ~ N(μ; σ²) mit Dichtefunktion f(x) wird wie folgt definiert:

Zur Vereinfachung substituiert man den Exponenten der Exponentialfunktion mit und . Zudem verwendet man die Zerlegung . Dann lautet der gesuchte Erwartungswert:

Einsetzen in die Definitionsgleichung und Umformen führt zu:

.

Alternative Berechnung des Erwartungswerts

Einen ähnlichen Weg zur Integralberechnung erhält man mit und , der Zerlegung sowie der Substitution des konstanten Ausdrucks . Mit ihnen erhält man den Ausdruck

.

und bildet das gesuchte Integral über die zerlegte Form. Nach den nötigen Umformungen ergibt sich der Erwartungswert μ:

wegen

.

Berechnung der Varianz

Die Berechnung der Varianz erfolgt am einfachsten als Differenz: σ² = E(x)² – E(x²): Dazu ist der Erwartungswert E(x²) zu berechnen. Dies geschieht analog zur Berechnung von E(x):

Damit gilt für die Varianz:

.

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siehe auch:
Ruhm, Karl H.: Kennwerte der Normalverteilung. Internet-Portal "Wissenschaft und Technik des Messens"; Dokument: http://www.mmm.ethz.ch/dok01/d0000411.pdf.