Annuität: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 6. Januar 2011, 21:20 Uhr

Idee der Annuität

Die Annuität bezeichnet in der Investitionsrechnung und der Finanzmathematik einen Betrag, der über eine bestimmte Anzahl an Perioden in gleichbleibender Höhe gezahlt wird.

Die Annuität ist zur Beurteilung von Investitionsprojekten aus zwei Gründen von Interesse: (i) ein Betrag in gleichbleibender Höhe ist deutlich einfacher zu beurteilen als die im Allgemeinen ungleichmäßige Folge der ursprünglichen Projektzahlungen; (ii) ein jährlich wiederkehrender Betrag ist von der Größenordnung vielfach einfacher zu beurteilen als der im Kapitalwert ausgedrückte einmalige Wertzuwachs.

Berechnung der Annuität

Aus diesen beiden Überlegungen heraus ergibt sich auch die Berechnung der Annuität. Die Zahlung der Annuität über eine festgelegte Anzahl von T Perioden muss gleichwertig sein zu den unregelmäßigen Projektzahlungen und auch zu deren Kapitalwert.

Bezeichnet man den Kapitalwert des Projekts mit C, den Zinsfaktor q = (1 + p) und die Annuität mit B, so gilt:

Kapitalwert Annuität über T Perioden = Kapitalwert des Projekts

Multipliziert man beide Seiten dieser Bedingungsgleichung mit q^t bzw. q^t+1, so erhält man die die beiden Bedingungen:

C · q^t+1 = B · q^t + B · q^t-1 + B · q^t-2 + ... + B · q^2 + B · q

und

C · q^t = B · q^t-1 + B · q^t-2 + B · q^t-3 + ... + B · q + B

Subtraktion der zweiten Bedingung von der ersten führt zu:

C · (q^t+1 - q^t+1) = B · q^t - B

Auflösen nach B ergibt:

B = (q-1)· q^t/(q^t - 1) · C

Die Annuität ist daher ein Bruchteil des Kapitalwertes. Dieser Bruchteil heißt Annuitätenfaktor wp,t. Seine Höhe hängt vom Zinsfaktor q bzw. vom Zinssatz p sowie von der Anzahl der Perioden ab, über die die Annuität gezahlt wird.

Der Kehrwert des Annuitätenfaktors heißt auch Rentenbarwertfaktor. Der Name verdeutlicht, dass der Barwert einer Reihe von Zahlungen in gleichbleibender Höhe (dies wird in der Finanzmathematik als Rente bezeichnet) durch Multiplikation der Rente mit dem Rentenbarwert berechnet werden kann.

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-Der '''interne Zinsfuß''' ist eine Kennzahl zur Beurteilung von Investitionsprojekten. Er wird berechnet als derjenige Kalkulationszinssatz, bei dem der Kapitalwert eines Projekts null ist. Da er auf der Kapitalwertberechnung mit ihrer differenzierten und periodenspezifischen Erfassung künftiger Zahlungen beruht, gehört er zu den Verfahren der [[dynamische Investitionsrechnung|dynamischen Investitionsrechnung]].
+== Idee der Annuität ==
-== Berechnung des internen Zinsfußes ==
+Die '''Annuität''' bezeichnet in der [[Investitionsrechnung]] und der Finanzmathematik einen Betrag, der über eine bestimmte Anzahl an Perioden in gleichbleibender Höhe gezahlt wird.
-Zur Berechnung des internen Zinsfußes wird die [[Kapitalwertfunktion]] in Abhängigkeit des Kalkulationszinssatzes formuliert und auf ihre Nullstellen untersucht. Je nach Anzahl der berücksichtigten Planperioden ergibt dies ein Polynom höheren Grades. In einfachen Fällen lassen sich die Nullstellen explizit bestimmen (etwa als Lösung einer entsprechenden quadratischen Gleichung für zweiperiodige Projekte).
+Die Annuität ist zur Beurteilung von Investitionsprojekten aus zwei Gründen von Interesse:
+(i) ein Betrag in gleichbleibender Höhe ist deutlich einfacher zu beurteilen als die im Allgemeinen ungleichmäßige Folge der ursprünglichen Projektzahlungen;
+(ii) ein jährlich wiederkehrender Betrag ist von der Größenordnung vielfach einfacher zu beurteilen als der im [[Kapitalwert]] ausgedrückte einmalige Wertzuwachs.
-Für längere Projekte mit mehr als zwei Perioden ist auf Näherungsverfahren zurückzugreifen. Das bekannteste davon ist das Newtonsche Näherungsverfahren.
+== Berechnung der Annuität ==
-Bei Standardprojekten, deren Zahlungsreihe mit einer Auszahlung beginnt und die anschließend nur zu Rückzahlungen habt, ergibt sich eine eindeutige Nullstelle als interner Zinsfuß. Bei Projekten mit Vorzeichenwechseln in der Zahlungsreihe ergeben sich mehrere Nullstellen als mögliche interne Zinsfüße, die nicht alle sinnvoll interpretierbar sind.
+Aus diesen beiden Überlegungen heraus ergibt sich auch die Berechnung der Annuität. Die Zahlung der Annuität über eine festgelegte Anzahl von T Perioden muss gleichwertig sein zu den unregelmäßigen Projektzahlungen und auch zu deren Kapitalwert.
-== Projektbeurteilung mit dem internen Zinsfuß ==
+Bezeichnet man den Kapitalwert des Projekts mit C, den Zinsfaktor q = (1 + p) und die Annuität mit B, so gilt:
-Ein Projekt ist vorteilhaft, wenn sein interner Zinsfuß größer ist als der Kapitalmarktzinssatz. Dieses Kriterium ermöglicht die Beurteilung einfacher Projekte (d.h. von Projekten, die mit einer Auszahlung beginnen und für die anschließend nur mit positiven Einzahlungsüberschüssen gerechnet wird).
+Kapitalwert Annuität über T Perioden = Kapitalwert des Projekts
+Multipliziert man beide Seiten dieser Bedingungsgleichung mit q^t bzw. q^t+1, so erhält man die die beiden Bedingungen:
+C · q^t+1 	=	B · q^t  +	B · q^t-1  +  B · q^t-2  +  ...  +  B · q^2  +  B · q
+und
+C · q^t     	=		B · q^t-1  +  B · q^t-2  +  B · q^t-3  + ... +  B · q  +  B
+Subtraktion der zweiten Bedingung von der ersten führt zu:
+C · (q^t+1 - q^t+1) 	=	B · q^t  - B
+Auflösen nach B ergibt:
+B = (q-1)· q^t/(q^t - 1) · C
+Die Annuität ist daher ein Bruchteil des Kapitalwertes. Dieser Bruchteil heißt '''Annuitätenfaktor''' wp,t. Seine Höhe hängt vom Zinsfaktor q bzw. vom Zinssatz p sowie von der Anzahl der Perioden ab, über die die Annuität gezahlt wird.
+Der Kehrwert des Annuitätenfaktors heißt auch '''Rentenbarwertfaktor.''' Der Name verdeutlicht, dass der Barwert einer Reihe von Zahlungen in gleichbleibender Höhe (dies wird in der Finanzmathematik als Rente bezeichnet) durch Multiplikation der Rente mit dem Rentenbarwert berechnet werden kann.

Annuität: Unterschied zwischen den Versionen

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Idee der Annuität

Berechnung der Annuität

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