Annuität

von Clemens Werkmeister

Idee der Annuität

Die Annuität bezeichnet in der Investitionsrechnung und der Finanzmathematik einen Betrag, der über eine bestimmte Anzahl an Perioden in gleichbleibender Höhe gezahlt wird.

Die Annuität ist zur Beurteilung von Investitionsprojekten aus zwei Gründen von Interesse:

(i) ein Betrag in gleichbleibender Höhe ist deutlich einfacher zu beurteilen als die im Allgemeinen ungleichmäßige Folge der ursprünglichen Projektzahlungen;

(ii) ein jährlich wiederkehrender Betrag ist von der Größenordnung vielfach einfacher zu beurteilen als der im Kapitalwert ausgedrückte einmalige Wertzuwachs. Er entspricht zudem möglicherweise auch eher dem Konsumplan der Beteiligten.

Rechnen mit Annuitäten

Berechnung der Annuität

Aus diesen beiden Überlegungen heraus ergibt sich auch die Berechnung der Annuität. Die Zahlung der Annuität über eine festgelegte Anzahl von t Perioden muss gleichwertig sein zu den unregelmäßigen Projektzahlungen und auch zu deren Kapitalwert.

Bezeichnet man den Kapitalwert des Projekts mit C, den Zinsfaktor q = (1 + i) und die Annuität mit B, so gilt:

Kapitalwert der Annuität über t Perioden = Kapitalwert des Projekts

Multipliziert man beide Seiten dieser Bedingungsgleichung mit q^t bzw. q^t+1, so erhält man die beiden Bedingungen:

C · q^t+1 = B · q^t + B · q^t-1 + B · q^t-2 + ... + B · q² + B · q

und

C · q^t = B · q^t-1 + B · q^t-2 + B · q^t-3 + ... + B · q + B

Subtraktion der zweiten Bedingung von der ersten führt zu:

C · (q^t+1 - q^t) = B · q^t - B

Auflösen nach B ergibt:

B = (q-1)· q^t/(q^t - 1) · C

Die Annuität ist daher ein Bruchteil des Kapitalwertes. Dieser Bruchteil heißt Annuitätenfaktor w_i,t. Seine Höhe hängt vom Zinsfaktor q bzw. vom Zinssatz i sowie von der Anzahl t der Perioden ab, über die die Annuität gezahlt wird. Es gilt:

w_i,t = (q-1)· q^t/(q^t - 1) mit q = 1+i.

Für einen Zinssatz von 10 % und eine Laufzeit von drei Jahren ergibt sich ein Wiedergewinnungsfaktor w_{10%, 3} = 0,402115.

Unterscheiden sich die Kalkulationszinssätze für die verschiedenen Perioden, so ist die Annuitätenberechnung ähnlich wie die Kapitalwertberechnung mit periodenspezifischen Zinssätzen anzupassen.

Kapitalwertberechnung mit dem Rentenbarwertfaktor

Der Kehrwert des Annuitätenfaktors heißt Rentenbarwertfaktor. Der Name verdeutlicht, dass der Barwert einer Reihe von Zahlungen in gleichbleibender Höhe (dies wird in der Finanzmathematik als Rente bezeichnet) durch Multiplikation der Rente mit dem Rentenbarwertfaktor berechnet werden kann. Der Rentenbarwertfaktor hängt damit ebenfalls nur vom Zinssatz i und der Laufzeit t der Rente ab und lautet:

RBF_i,t = (q^t - 1)/((q-1)· q^t).

Für das obige Beispiel einer Annuität über drei Jahre ergibt sich bei einem Zinssatz von 10% ein Rentenbarwertfaktor RBF_{10%, 3} = 2,48685.

Kapitalwert einer ewigen Rente

Über den Rentenbarwertfaktor lässt sich der Kapitalwert einer gleichförmigen Zahlung in den Perioden 0, 1, 2, ..., t berechnen. Fällt diese Zahlung unbegrenzt an, spricht man von einer ewigen Rente. Ihr Kapitalwert lässt sich über den Grenzwert des Rentenbarwertfaktors für t->∞ bestimmen. Der Rentenbarwertfaktor vereinfacht sich dann auf 1/i. Damit gilt für den Kapitalwert einer ewigen Rente in Höhe von B:

C = B/i.

Vorschüssige und nachschüssige Annuitäten (Renten)

Die bisherige Annuitätenrechnung geht von einer Annuitäten- bzw. Rentenzahlung zum Ende der Jahre 1, 2, ..., t aus und berechnet deren Kapitalwert im Jahr 0. Solche Rentenzahlungen zum Ende einer Periode heißen auch nachschüssige Renten, im Gegensatz zu vorschüssigen Renten, die zu Beginn einer Periode gezahlt werden. Eine Rente, die zu Beginn einer Periode gezahlt wird, kann vereinfachend wie eine Rente zum Ende der jeweiligen Vorperiode behandelt werden. Dies entspricht einer Annuitätenzahlung in den Perioden 0, 1, 2, ..., t-1. Damit lässt sich eine solche vorschüssige Rente durch einfaches Abzinsen der nachschüssigen Rente bestimmen.

Wachsende periodische Zahlungen

Statt eines gleichbleibenden kann auch ein über mehrere Perioden hinweg wachsender Betrag bestimmt werden, der dem Kapitalwert entspricht. Dies kann beispielsweise interessant sein, wenn der periodisch wiederkehrende Betrag einen Inflationsausgleich bzw. eine Kaufkrafterhaltung oder Wiederbeschaffungskosten berücksichtigen soll. Rechnerisch einfach lassen sich diejenigen Fälle behandeln, in denen ein periodisches Wachstum um einen konstanten absoluten Betrag oder um einen konstanten Prozentsatz (Wachstumsrate) vorgesehen ist. Sie entsprechen einer arithmetisch oder geometrisch wachsenden Reihe von t Zahlungen.

Investitionsbeurteilung anhand der Annuität

Da die Annuität eine Umrechnung des Kapitalwerts ist, wird sie auch in vergleichbarer Weise zur Projektbeurteilung eingesetzt:

• Die Durchführung eines Projekts mit positiver Annuität ist besser als seine Unterlassung.
• Beim Vergleich mehrerer, sich ausschließender Projekte (Auswahlentscheidung) ist dasjenige mit der höchsten Annuität vorzuziehen. Dies setzt aber voraus, dass die Projekte von gleicher Dauer sind. Andernfalls sind die Annuitäten der Projekte auf einen einheitlichen Zeitraum umzurechnen und anschließend zu vergleichen.
• Beim Vergleich alternativer Investitionsprogramme ist dasjenige mit der höchstens Annuität optimal - wiederum unter der Voraussetzung, dass die Annuität über den gleichen Zeitraum berechnet wurde.
• In Investitionsketten aus wiederholt durchgeführten Projekten mit identischen Zahlungsreihen gibt die Annuität die durchschnittliche jährliche Zahlung an. Diese kann mit der Annuität der unendlichen Investitionsketten anderer Projekte (auch mit anderer Laufzeit) verglichen werden (vgl. auch Timing).

Vor- und Nachteile der Annuität als Investitionsbeurteilungskriterium

Wegen der gemeinsamen Berechnungsgrundlagen entsprechen die Vor- und Nachteile der Annuität weitgehend denen des Kapitalwerts. Als zusätzlicher Vorteil gilt gemeinhin, dass die Annuität eher dem üblichen Verständnis eines jährlichen Gewinns entspricht und ihre Höhe daher entsprechend eingeschätzt werden kann. Als zusätzlicher Nachteil gegenüber dem Kapitalwert ist die Abhängigkeit der Annuität vom Zeitraum, über den die Zahlungen verteilt werden, zu erwähnen.