Nutzenerwartungswert und Sicherheitsäquivalent - Versionsgeschichte

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2013-01-29T09:30:24Z

Weiterleitung nach Sicherheitsäquivalent bei exponentieller Nutzenfunktion erstellt

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Wikimeister: /* Anwendung im LEN-Modell */

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Anwendung im LEN-Modell

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	Christensen, Peter O./Feltham, Gerald H.: Economics of Accounting I: Information in Markets. Berlin et al. 2002, S. 54 f.		Christensen, Peter O./Feltham, Gerald H.: Economics of Accounting I: Information in Markets. Berlin et al. 2002, S. 54 f.
	Burr, W./Stephan, M./Werkmeister, Cl: Unternehmensführung. 2. Aufl., München 2011.
			Burr, W./Stephan, M./Werkmeister, C.: Unternehmensführung. 2. Aufl., München 2011.

Wikimeister: /* Anwendung im LEN-Modell */

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Anwendung im LEN-Modell

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	Die Berechnung des Sicherheitsäquivalents lässt sich auch auf Nutzenfunktionen mit Ergebnissen bzw. Entlohnungen mit fixen und variablen Bestandteilen sowie Arbeitsleid übertragen. Dies wird insbesondere im [[LEN-Modell]] ausgenutzt. Dort wird für den Agenten ebenfalls eine exponentielle Nutzenfunktion uA mit normalverteilter Ergebnis- bzw. Entlohnungsgröße unterstellt (vgl. Burr/Stephan/Werkmeister [Unternehmensführung 2011] ~~xxx~~):		Die Berechnung des Sicherheitsäquivalents lässt sich auch auf Nutzenfunktionen mit Ergebnissen bzw. Entlohnungen mit fixen und variablen Bestandteilen sowie Arbeitsleid übertragen. Dies wird insbesondere im [[LEN-Modell]] ausgenutzt. Dort wird für den Agenten ebenfalls eine exponentielle Nutzenfunktion uA mit normalverteilter Ergebnis- bzw. Entlohnungsgröße unterstellt (vgl. Burr/Stephan/Werkmeister [Unternehmensführung 2011] 286):

	mit rA als Risikoaversionskoeffizient, xxx als Arbeitsleidfunktion und xxx als linearer Entlohnungsfunktion des Agenten mit dem Prämienfaktor v für die erfolgsabhängige Entlohnung und dem Fixum f.		mit rA als Risikoaversionskoeffizient, xxx als Arbeitsleidfunktion und xxx als linearer Entlohnungsfunktion des Agenten mit dem Prämienfaktor v für die erfolgsabhängige Entlohnung und dem Fixum f.
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	siehe auch:<br>		siehe auch:<br>
	Christensen, Peter O./Feltham, Gerald H.: Economics of Accounting I: Information in Markets. Berlin et al. 2002, S. 54 f.		Christensen, Peter O./Feltham, Gerald H.: Economics of Accounting I: Information in Markets. Berlin et al. 2002, S. 54 f.
			Burr, W./Stephan, M./Werkmeister, Cl: Unternehmensführung. 2. Aufl., München 2011.

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===Nutzenerwartungswert und Sicherheitsäquivalent bei exponentieller Nutzenfunktion und normalverteilten Ergebnisgrößen ===

Wichtige betriebswirtschaftliche Entscheidungs- und Anreizmodelle (bspw. das [[LEN-Modell]]) nutzen die rechentechnische Vorteile aus, die bestimmte Risikonutzenfunktionen und Annahmen zur Wahrscheinlichkeitsverteilung bieten. Eine exponentialverteilte Nutzenfunktion xxx hat konstante absolute [[Risikoaversion]] r. Für diese Nutzenfunktion lässt sich bei normalverteilter Zufallsvariable x als Ergebnisgröße das Sicherheitsäquivalent in besonders einfacher Form ausdrücken. Dies gilt auch für lineare Transformationen der Ergebnisgröße. Solche liegen vor, wenn die Ergebnisgröße x(a) linear in Abhängigkeit einer Einflussgröße a (bspw. der Anstrengung) und eines normalverteilten Störterms e mit Erwartungswert null und Varianz s² ausgedrückt werden kann.

xxx

=== Herleitung des Sicherheitsäquivalents ===
Mit diesen Festlegungen bestimmt sich das Sicherheitsäquivalent der exponentiellen Nutzenfunktion xxx aus dem Erwartungswert des Ergebnisses abzüglich einer Risikoprämie:

xxx

Das Ausmaß der Risikoprämie hängt von der Risikoaversion der Nutzenfunktion sowie der Varianz des Ergebnisses ab.

Die Herleitung des Sicherheitsäquivalents beruht darauf, dass der Erwartungsnutzen E[u(a)] gleich dem Nutzen des Sicherheitsäquivalents u(SÄ(a)) ist. Für den erwarteten Nutzen E[u(a)] in Abhängigkeit der Anstrengung a gilt (zur übersichtlicheren Darstellung wird im Folgenden nur m und s verwendet):

xxx

Substituiert man nun den Exponenten gemäß

xxx

so erhält man für den Erwartungsnutzen:

xxx

=== Herleitung der Substitution des Exponenten in der Erwartungsnutzenberechnung ===

Bei der Berechnung des Erwartungswerte des Nutzens bei exponentieller Nutzenfunktion und normalverteilten Ergebnisgrößen lässt sich die Substitution

xxx

durch Umformung der rechten Seite folgendermaßen herleiten:

xxx

Bei anderen Nutzenfunktionen lässt sich diese Form des Sicherheitsäquivalents nur näherungsweise über Taylor-Approximationen herleiten.

=== Anwendung im LEN-Modell ===

Die Berechnung des Sicherheitsäquivalents lässt sich auch auf Nutzenfunktionen mit Ergebnissen bzw. Entlohnungen mit fixen und variablen Bestandteilen sowie Arbeitsleid übertragen. Dies wird insbesondere im [[LEN-Modell]] ausgenutzt. Dort wird für den Agenten ebenfalls eine exponentielle Nutzenfunktion uA mit normalverteilter Ergebnis- bzw. Entlohnungsgröße unterstellt (vgl. Burr/Stephan/Werkmeister [Unternehmensführung 2011] xxx):

mit rA als Risikoaversionskoeffizient, xxx als Arbeitsleidfunktion und xxx als linearer Entlohnungsfunktion des Agenten mit dem Prämienfaktor v für die erfolgsabhängige Entlohnung und dem Fixum f.

xxx

Dann gilt für das Sicherheitsäquivalent SÄ des Agenten:

xxx

Dies lässt sich ohne Weiteres durch eine entsprechende Exponentensubstitution herleiten. Bemerkenswert ist lediglich, dass der Prämienfaktor v auch die Varianz des Ergebnisses beeinflusst und daher in die Risikoprämie eingeht.

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siehe auch:<br>
Christensen, Peter O./Feltham, Gerald H.: Economics of Accounting I: Information in Markets. Berlin et al. 2002, S. 54 f.