Newton-Verfahren - Versionsgeschichte

Wikimeister am 25. Januar 2013 um 07:14 Uhr

2013-01-25T07:14:59Z

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	''von Clemens Werkmeister''		''von Clemens Werkmeister''
	<html><img src=""http://vg06.met.vgwort.de/na/4aee884c882e4e848559919a07f31b48"" width=""1"" height=""1"" alt=""""></html>		<html><img src="http://vg06.met.vgwort.de/na/4aee884c882e4e848559919a07f31b48" width="1" height="1" alt=""></html>

Wikimeister am 10. Januar 2012 um 16:57 Uhr

2012-01-10T16:57:45Z

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	''von Clemens Werkmeister''		''von Clemens Werkmeister''
			<html><img src=""http://vg06.met.vgwort.de/na/4aee884c882e4e848559919a07f31b48"" width=""1"" height=""1"" alt=""""></html>


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	Die notwendige Anzahl an Iterationen hängt von der Art der Kapitalwert- bzw. Endwertfunktion ab. Bei Kapitalwertfunktionen für Normalprojekte (mit einer Anfangsinvestition und periodischen späteren Einnahmenüberschüssen) konvergiert das Newton-Verfahren vergleichsweise schnell. Bei anderen Kapitalwertfunktionen kann es vorkommen, dass das Newton-Verfahren nicht oder nicht zur gewünschten Nullstelle konvergiert (zu Beispielen von Projekten mit mehreren internen Zinsfüßen vgl. Troßmann (1998).		Die notwendige Anzahl an Iterationen hängt von der Art der Kapitalwert- bzw. Endwertfunktion ab. Bei Kapitalwertfunktionen für Normalprojekte (mit einer Anfangsinvestition und periodischen späteren Einnahmenüberschüssen) konvergiert das Newton-Verfahren vergleichsweise schnell. Bei anderen Kapitalwertfunktionen kann es vorkommen, dass das Newton-Verfahren nicht oder nicht zur gewünschten Nullstelle konvergiert (zu Beispielen von Projekten mit mehreren internen Zinsfüßen vgl. Troßmann (1998).

			---<br/>
			zur Übung siehe auch [[Financial Exercises 3: NPV and IRR]]

Wikimeister am 16. Dezember 2011 um 14:29 Uhr

2011-12-16T14:29:53Z

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	''von Clemens Werkmeister		''von Clemens Werkmeister''
	''


	== Zweck des Newton-Verfahrens ==		== Zweck des Newton-Verfahrens ==

Wikimeister am 16. Dezember 2011 um 14:29 Uhr

2011-12-16T14:29:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Dezember 2011, 16:29 Uhr
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			''von Clemens Werkmeister
			''

	== Zweck des Newton-Verfahrens ==		== Zweck des Newton-Verfahrens ==

	Das '''Newton-Verfahren''' dient in der Investitions- und Finanzierungsrechnung zur Bestimmung des [[interner Zinsfuß\|internen Zinsfußes]]. Allgemein ist das Newton-Verfahren ein Verfahren zur numerischen Bestimmung von Nullstellen einer stetig differenzierbaren Funktion f(x). Dazu gehören auch Polynome wie in den [[~~Kapitalwertfunktion~~\|Kapitalwertfunktionen]].		Das '''Newton-Verfahren''' dient in der Investitions- und Finanzierungsrechnung zur Bestimmung des [[interner Zinsfuß\|internen Zinsfußes]]. Allgemein ist das Newton-Verfahren ein Verfahren zur numerischen Bestimmung von Nullstellen einer stetig differenzierbaren Funktion f(x). Dazu gehören auch Polynome wie in den [[Kapitalwert\|Kapitalwertfunktionen]].

	Das Newton-Verfahren geht iterativ vor: Aufgrund einer vorhandenen Näherungslösung x<sub>0</sub> wird die nächstbessere Näherungslösung x<sub>n+1</sub> wie folgt berechnet:		Das Newton-Verfahren geht iterativ vor: Aufgrund einer vorhandenen Näherungslösung x<sub>0</sub> wird die nächstbessere Näherungslösung x<sub>n+1</sub> wie folgt berechnet:

Wikimeister: /* Beispiel zur Bestimmung eines internen Zinsfußes */

2011-02-24T15:11:02Z

Beispiel zur Bestimmung eines internen Zinsfußes

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2011, 17:11 Uhr
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	== Beispiel zur Bestimmung eines internen Zinsfußes==		== Beispiel zur Bestimmung eines internen Zinsfußes==
	Für ein Projekt mit der Zahlungsreihe (-1200; 600; 600; 300) ~~ergibt sich folgende~~ Endwertfunktion EW(q) und Ableitung EW'(q):		Für ein Projekt mit der Zahlungsreihe (-1200; 600; 600; 300) lauten die Endwertfunktion EW(q) und die Ableitung EW'(q):

	EW(q) = -1.200 · q<sup>3</sup> + 600 · q<sup>2</sup> + 600 · q + 300.		EW(q) = -1.200 · q<sup>3</sup> + 600 · q<sup>2</sup> + 600 · q + 300.
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	[[Datei:CW_Newton_Beispiel.png]]		[[Datei:CW_Newton_Beispiel.png]]

	Ausgehend vom Zinssatz 0% als Schätzwert (bzw. dem Zinsfaktor q = 1) ergibt sich folgende Näherungsfolge:		Ausgehend vom Zinssatz 0% als Schätzwert (bzw. dem Zinsfaktor q_0 = 1) ergibt sich folgende Näherungsfolge:


	{\|align="center" border="1" cellpadding="3" cellspacing="0"		{\|align="center" border="1" cellpadding="3" cellspacing="0"
	\|- align="center"		\|- align="center"
	\|Iteration\|\|~~Zins-~~<br>~~faktor~~<br>q\|\|EW(q)\|\|EW'(q)		\|Iteration<br/> n\|\|Zinsfaktor<br>q<sub>n</sub>\|\|EW(q<sub>n</sub>)\|\|EW'(q<sub>n</sub>)
	\|- align="center"		\|- align="center"
	\|1\|\|1,0000\|\|300,00\|\|-1.800,00		\|0\|\|1,0000\|\|300,00\|\|-1.800,00
	\|- align="center"		\|- align="center"
	\|2\|\|1,1667\|\|-88,89\|\|-2.900,00		\|1\|\|1,1667\|\|-88,89\|\|-2.900,00
	\|- align="center"		\|- align="center"
	\|3\|\|1,1360\|\| -3,35\|\|-2.682,69		\|2\|\|1,1360\|\| -3,35\|\|-2.682,69
	\|- align="center"		\|- align="center"
	\|4\|\|1,1348\|\| -0,01\|\|-2.673,99		\|3\|\|1,1348\|\| -0,01\|\|-2.673,99
	\|- align="center"		\|- align="center"
	\|5\|\|1,1348\|\| 0,00\|\|-2.673,97		\|4\|\|1,1348\|\| 0,00\|\|-2.673,97
	\|}		\|}

	Damit ergibt sich bereits nach wenigen Iterationen eine hinreichend genaue Annäherung an den internen Zinsfaktor ~~von~~ q = 1,1348 bzw. den [[interner Zinsfuß\|internen Zinsfuß]] 13,48%.		Damit ergibt sich bereits nach wenigen Iterationen eine hinreichend genaue Annäherung an den internen Zinsfaktor q = 1,1348 bzw. den [[interner Zinsfuß\|internen Zinsfuß]] 13,48%.

	Die notwendige Anzahl an Iterationen hängt von der Art der Kapitalwert- bzw. Endwertfunktion ab. Bei Kapitalwertfunktionen für Normalprojekte (mit einer Anfangsinvestition und periodischen späteren Einnahmenüberschüssen) konvergiert das Newton-Verfahren vergleichsweise schnell. Bei anderen Kapitalwertfunktionen kann es vorkommen, dass das Newton-Verfahren nicht oder nicht zur gewünschten Nullstelle konvergiert (zu Beispielen von Projekten mit mehreren internen Zinsfüßen vgl. Troßmann (1998).		Die notwendige Anzahl an Iterationen hängt von der Art der Kapitalwert- bzw. Endwertfunktion ab. Bei Kapitalwertfunktionen für Normalprojekte (mit einer Anfangsinvestition und periodischen späteren Einnahmenüberschüssen) konvergiert das Newton-Verfahren vergleichsweise schnell. Bei anderen Kapitalwertfunktionen kann es vorkommen, dass das Newton-Verfahren nicht oder nicht zur gewünschten Nullstelle konvergiert (zu Beispielen von Projekten mit mehreren internen Zinsfüßen vgl. Troßmann (1998).

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2011-02-24T15:03:51Z

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== Zweck des Newton-Verfahrens ==

Das '''Newton-Verfahren''' dient in der Investitions- und Finanzierungsrechnung zur Bestimmung des [[interner Zinsfuß|internen Zinsfußes]]. Allgemein ist das Newton-Verfahren ein Verfahren zur numerischen Bestimmung von Nullstellen einer stetig differenzierbaren Funktion f(x). Dazu gehören auch Polynome wie in den [[Kapitalwertfunktion|Kapitalwertfunktionen]].

Das Newton-Verfahren geht iterativ vor: Aufgrund einer vorhandenen Näherungslösung x0 wird die nächstbessere Näherungslösung xn+1 wie folgt berechnet:

xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn). Dies wird wiederholt, bis der Funktionswert hinreichend nahe am Zielwert (insbesondere null) ist.

== Bestimmung eines internen Zinsfußes mit dem Newton-Verfahren ==
Zur Bestimmung eines internen Zinsfußes i* als Nullstelle der Kapitalwertfunktion C(i) sind zwei Anpassungen der Kapitalwertfunktion zweckmäßig: (i) ist es zweckmäßig, die Kapitalwertfunktion mit dem Diskontierungsfaktor der letzten Periode zu multiplizieren, um die Variablen aus dem Nenner zu beseitigen. Inhaltlich entspricht dies der Bestimmung der Nullstelle der Endwertfunktion EW. (ii) erhöht die Verwendung des Zinsfaktors q = 1 + i die Übersichtlichkeit.

Die Bestimmung des internen Zinsfußes entspricht dann der Lösung der Gleichung:

[[Datei:CW_Endwertfunktion_q.png]]

unter Berücksichtigung der Ableitung:

[[Datei:CW_Endwertableitung.png]].

== Beispiel zur Bestimmung eines internen Zinsfußes==
Für ein Projekt mit der Zahlungsreihe (-1200; 600; 600; 300) ergibt sich folgende Endwertfunktion EW(q) und Ableitung EW'(q):

EW(q) = -1.200 · q3 + 600 · q2 + 600 · q + 300.

EW'(q) = -3.600 · q2 + 1.200 · q + 600.

Daraus folgt für die Regel zur Bestimmung der Näherungslösungen:

[[Datei:CW_Newton_Beispiel.png]]

Ausgehend vom Zinssatz 0% als Schätzwert (bzw. dem Zinsfaktor q = 1) ergibt sich folgende Näherungsfolge:

{|align="center" border="1" cellpadding="3" cellspacing="0"
|- align="center"
|Iteration||Zins- faktor q||EW(q)||EW'(q)
|- align="center"
|1||1,0000||300,00||-1.800,00
|- align="center"
|2||1,1667||-88,89||-2.900,00
|- align="center"
|3||1,1360|| -3,35||-2.682,69
|- align="center"
|4||1,1348|| -0,01||-2.673,99
|- align="center"
|5||1,1348|| 0,00||-2.673,97
|}

Damit ergibt sich bereits nach wenigen Iterationen eine hinreichend genaue Annäherung an den internen Zinsfaktor von q = 1,1348 bzw. den [[interner Zinsfuß|internen Zinsfuß]] 13,48%.

Die notwendige Anzahl an Iterationen hängt von der Art der Kapitalwert- bzw. Endwertfunktion ab. Bei Kapitalwertfunktionen für Normalprojekte (mit einer Anfangsinvestition und periodischen späteren Einnahmenüberschüssen) konvergiert das Newton-Verfahren vergleichsweise schnell. Bei anderen Kapitalwertfunktionen kann es vorkommen, dass das Newton-Verfahren nicht oder nicht zur gewünschten Nullstelle konvergiert (zu Beispielen von Projekten mit mehreren internen Zinsfüßen vgl. Troßmann (1998).