Annuität - Versionsgeschichte

Wikimeister: /* Berechnung der Annuität */

2012-03-17T11:32:01Z

Berechnung der Annuität

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	Für einen Zinssatz von 10 % und eine Laufzeit von drei Jahren ergibt sich ein Wiedergewinnungsfaktor w<sub>10%, 3</sub> = 0,402115.<br/>		Für einen Zinssatz von 10 % und eine Laufzeit von drei Jahren ergibt sich ein Wiedergewinnungsfaktor w<sub>10%, 3</sub> = 0,402115.<br/>

			Unterscheiden sich die Kalkulationszinssätze für die verschiedenen Perioden, so ist die Annuitätenberechnung ähnlich wie die [[Kapitalwertberechnung mit periodenspezifischen Zinssätzen]] anzupassen.

	=== Kapitalwertberechnung mit dem Rentenbarwertfaktor ===		=== Kapitalwertberechnung mit dem Rentenbarwertfaktor ===

Wikimeister am 3. Dezember 2011 um 14:59 Uhr

2011-12-03T14:59:38Z

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			''von Clemens Werkmeister''

			<html><img src="http://vg06.met.vgwort.de/na/9cafb452c9254dcd9b69dd2d3e0786f6" width="1" height="1" alt=""></html>

	== Idee der Annuität ==		== Idee der Annuität ==
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	* Beim Vergleich mehrerer, sich ausschließender Projekte (Auswahlentscheidung) ist dasjenige mit der höchsten Annuität vorzuziehen. Dies setzt aber voraus, dass die Projekte von gleicher Dauer sind. Andernfalls sind die Annuitäten der Projekte auf einen einheitlichen Zeitraum umzurechnen und anschließend zu vergleichen.		* Beim Vergleich mehrerer, sich ausschließender Projekte (Auswahlentscheidung) ist dasjenige mit der höchsten Annuität vorzuziehen. Dies setzt aber voraus, dass die Projekte von gleicher Dauer sind. Andernfalls sind die Annuitäten der Projekte auf einen einheitlichen Zeitraum umzurechnen und anschließend zu vergleichen.
	* Beim Vergleich alternativer Investitionsprogramme ist dasjenige mit der höchstens Annuität optimal - wiederum unter der Voraussetzung, dass die Annuität über den gleichen Zeitraum berechnet wurde.		* Beim Vergleich alternativer Investitionsprogramme ist dasjenige mit der höchstens Annuität optimal - wiederum unter der Voraussetzung, dass die Annuität über den gleichen Zeitraum berechnet wurde.
			* In Investitionsketten aus wiederholt durchgeführten Projekten mit identischen Zahlungsreihen gibt die Annuität die durchschnittliche jährliche Zahlung an. Diese kann mit der Annuität der unendlichen Investitionsketten anderer Projekte (auch mit anderer Laufzeit) verglichen werden (vgl. auch [[Timing]]).

	== Vor- und Nachteile der Annuität als Investitionsbeurteilungskriterium ==		== Vor- und Nachteile der Annuität als Investitionsbeurteilungskriterium ==

	Wegen der gemeinsamen Berechnungsgrundlagen entsprechen die Vor- und Nachteile der Annuität denen des [[Kapitalwert\|Kapitalwerts]]. Als zusätzlicher Vorteil gilt gemeinhin, dass die Annuität eher dem üblichen Verständnis eines jährlichen Gewinns entspricht und ihre Höhe daher entsprechend eingeschätzt werden kann. Als zusätzlicher Nachteil gegenüber dem Kapitalwert ist die Abhängigkeit der Annuität vom Zeitraum, über den die Zahlungen verteilt werden, zu erwähnen.		Wegen der gemeinsamen Berechnungsgrundlagen entsprechen die Vor- und Nachteile der Annuität weitgehend denen des [[Kapitalwert\|Kapitalwerts]]. Als zusätzlicher Vorteil gilt gemeinhin, dass die Annuität eher dem üblichen Verständnis eines jährlichen Gewinns entspricht und ihre Höhe daher entsprechend eingeschätzt werden kann. Als zusätzlicher Nachteil gegenüber dem Kapitalwert ist die Abhängigkeit der Annuität vom Zeitraum, über den die Zahlungen verteilt werden, zu erwähnen.

Wikimeister am 23. Februar 2011 um 10:49 Uhr

2011-02-23T10:49:03Z

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	== Idee der Annuität ==		== Idee der Annuität ==

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	(ii) ein jährlich wiederkehrender Betrag ist von der Größenordnung vielfach einfacher zu beurteilen als der im [[Kapitalwert]] ausgedrückte einmalige Wertzuwachs. Er entspricht zudem möglicherweise auch eher dem Konsumplan der Beteiligten.		(ii) ein jährlich wiederkehrender Betrag ist von der Größenordnung vielfach einfacher zu beurteilen als der im [[Kapitalwert]] ausgedrückte einmalige Wertzuwachs. Er entspricht zudem möglicherweise auch eher dem Konsumplan der Beteiligten.


	== Rechnen mit Annuitäten ==		== Rechnen mit Annuitäten ==
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	Für einen Zinssatz von 10 % und eine Laufzeit von drei Jahren ergibt sich ein Wiedergewinnungsfaktor w<sub>10%, 3</sub> = 0,402115.<br/>		Für einen Zinssatz von 10 % und eine Laufzeit von drei Jahren ergibt sich ein Wiedergewinnungsfaktor w<sub>10%, 3</sub> = 0,402115.<br/>


	=== Kapitalwertberechnung mit dem Rentenbarwertfaktor ===		=== Kapitalwertberechnung mit dem Rentenbarwertfaktor ===
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	* Beim Vergleich mehrerer, sich ausschließender Projekte (Auswahlentscheidung) ist dasjenige mit der höchsten Annuität vorzuziehen. Dies setzt aber voraus, dass die Projekte von gleicher Dauer sind. Andernfalls sind die Annuitäten der Projekte auf einen einheitlichen Zeitraum umzurechnen und anschließend zu vergleichen.		* Beim Vergleich mehrerer, sich ausschließender Projekte (Auswahlentscheidung) ist dasjenige mit der höchsten Annuität vorzuziehen. Dies setzt aber voraus, dass die Projekte von gleicher Dauer sind. Andernfalls sind die Annuitäten der Projekte auf einen einheitlichen Zeitraum umzurechnen und anschließend zu vergleichen.
	* Beim Vergleich alternativer Investitionsprogramme ist dasjenige mit der höchstens Annuität optimal - wiederum unter der Voraussetzung, dass die Annuität über den gleichen Zeitraum berechnet wurde.		* Beim Vergleich alternativer Investitionsprogramme ist dasjenige mit der höchstens Annuität optimal - wiederum unter der Voraussetzung, dass die Annuität über den gleichen Zeitraum berechnet wurde.


	== Vor- und Nachteile der Annuität als Investitionsbeurteilungskriterium ==		== Vor- und Nachteile der Annuität als Investitionsbeurteilungskriterium ==

	Wegen der gemeinsamen Berechnungsgrundlagen entsprechen die Vor- und Nachteile der Annuität denen des [[Kapitalwert\|Kapitalwerts]]. Als zusätzlicher Vorteil gilt gemeinhin, dass die Annuität eher dem üblichen Verständnis eines jährlichen Gewinns entspricht und ihre Höhe daher entsprechend eingeschätzt werden kann. Als zusätzlicher Nachteil gegenüber dem Kapitalwert ist die Abhängigkeit der Annuität vom Zeitraum, über den die Zahlungen verteilt werden, zu erwähnen.		Wegen der gemeinsamen Berechnungsgrundlagen entsprechen die Vor- und Nachteile der Annuität denen des [[Kapitalwert\|Kapitalwerts]]. Als zusätzlicher Vorteil gilt gemeinhin, dass die Annuität eher dem üblichen Verständnis eines jährlichen Gewinns entspricht und ihre Höhe daher entsprechend eingeschätzt werden kann. Als zusätzlicher Nachteil gegenüber dem Kapitalwert ist die Abhängigkeit der Annuität vom Zeitraum, über den die Zahlungen verteilt werden, zu erwähnen.

Wikimeister: /* Berechnung der Annuität */

2011-02-23T10:47:31Z

Berechnung der Annuität

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	w<sub>i,t</sub> = (q-1)· q<sup>t</sup>/(q<sup>t</sup> - 1) mit q = 1+i.		w<sub>i,t</sub> = (q-1)· q<sup>t</sup>/(q<sup>t</sup> - 1) mit q = 1+i.

	Für einen Zinssatz von 10 % und eine Laufzeit von drei Jahren ergibt sich ein Wiedergewinnungsfaktor w<sub>10%, 3</sub> = 0,402115.		Für einen Zinssatz von 10 % und eine Laufzeit von drei Jahren ergibt sich ein Wiedergewinnungsfaktor w<sub>10%, 3</sub> = 0,402115.<br/>

	=== Kapitalwertberechnung mit dem Rentenbarwertfaktor ===		=== Kapitalwertberechnung mit dem Rentenbarwertfaktor ===

Wikimeister am 22. Februar 2011 um 15:23 Uhr

2011-02-22T15:23:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. Februar 2011, 17:23 Uhr
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	(i) ein Betrag in gleichbleibender Höhe ist deutlich einfacher zu beurteilen als die im Allgemeinen ungleichmäßige Folge der ursprünglichen Projektzahlungen;		(i) ein Betrag in gleichbleibender Höhe ist deutlich einfacher zu beurteilen als die im Allgemeinen ungleichmäßige Folge der ursprünglichen Projektzahlungen;

	(ii) ein jährlich wiederkehrender Betrag ist von der Größenordnung vielfach einfacher zu beurteilen als der im [[Kapitalwert]] ausgedrückte einmalige Wertzuwachs.		(ii) ein jährlich wiederkehrender Betrag ist von der Größenordnung vielfach einfacher zu beurteilen als der im [[Kapitalwert]] ausgedrückte einmalige Wertzuwachs. Er entspricht zudem möglicherweise auch eher dem Konsumplan der Beteiligten.

	== Rechnen mit Annuitäten ==		== Rechnen mit Annuitäten ==
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	Für einen Zinssatz von 10 % und eine Laufzeit von drei Jahren ergibt sich ein Wiedergewinnungsfaktor w<sub>10%, 3</sub> = 0,402115.		Für einen Zinssatz von 10 % und eine Laufzeit von drei Jahren ergibt sich ein Wiedergewinnungsfaktor w<sub>10%, 3</sub> = 0,402115.

	== Kapitalwertberechnung mit dem Rentenbarwertfaktor ==		=== Kapitalwertberechnung mit dem Rentenbarwertfaktor ===

	Der Kehrwert des Annuitätenfaktors heißt '''Rentenbarwertfaktor.''' Der Name verdeutlicht, dass der Barwert einer Reihe von Zahlungen in gleichbleibender Höhe (dies wird in der Finanzmathematik als '''Rente''' bezeichnet) durch Multiplikation der Rente mit dem Rentenbarwertfaktor berechnet werden kann. Der Rentenbarwertfaktor hängt damit ebenfalls nur vom Zinssatz i und der Laufzeit t der Rente ab und lautet:		Der Kehrwert des Annuitätenfaktors heißt '''Rentenbarwertfaktor.''' Der Name verdeutlicht, dass der Barwert einer Reihe von Zahlungen in gleichbleibender Höhe (dies wird in der Finanzmathematik als '''Rente''' bezeichnet) durch Multiplikation der Rente mit dem Rentenbarwertfaktor berechnet werden kann. Der Rentenbarwertfaktor hängt damit ebenfalls nur vom Zinssatz i und der Laufzeit t der Rente ab und lautet:
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	== Kapitalwert einer ewigen Rente ==		=== Kapitalwert einer ewigen Rente ===

	Über den Rentenbarwertfaktor lässt sich der Kapitalwert einer gleichförmigen Zahlung in den Perioden 0, 1, 2, ..., t berechnen. Fällt diese Zahlung unbegrenzt an, spricht man von einer '''ewigen Rente.''' Ihr Kapitalwert lässt sich über den Grenzwert des Rentenbarwertfaktors für t->∞ bestimmen. Der Rentenbarwertfaktor vereinfacht sich dann auf 1/i. Damit gilt für den Kapitalwert einer ewigen Rente in Höhe von B:		Über den Rentenbarwertfaktor lässt sich der Kapitalwert einer gleichförmigen Zahlung in den Perioden 0, 1, 2, ..., t berechnen. Fällt diese Zahlung unbegrenzt an, spricht man von einer '''ewigen Rente.''' Ihr Kapitalwert lässt sich über den Grenzwert des Rentenbarwertfaktors für t->∞ bestimmen. Der Rentenbarwertfaktor vereinfacht sich dann auf 1/i. Damit gilt für den Kapitalwert einer ewigen Rente in Höhe von B:
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	== Vorschüssige und nachschüssige Annuitäten (Renten) ==		=== Vorschüssige und nachschüssige Annuitäten (Renten) ===

	Die bisherige Annuitätenrechnung geht von einer Annuitäten- bzw. Rentenzahlung zum Ende der Jahre 1, 2, ..., t aus und berechnet deren Kapitalwert im Jahr 0. Solche Rentenzahlungen zum Ende einer Periode heißen auch nachschüssige Renten, im Gegensatz zu '''vorschüssigen Renten,''' die zu Beginn einer Periode gezahlt werden. Eine Rente, die zu Beginn einer Periode gezahlt wird, kann vereinfachend wie eine Rente zum Ende der jeweiligen Vorperiode behandelt werden. Dies entspricht einer Annuitätenzahlung in den Perioden 0, 1, 2, ..., t-1. Damit lässt sich eine solche vorschüssige Rente durch einfaches Abzinsen der nachschüssigen Rente bestimmen.		Die bisherige Annuitätenrechnung geht von einer Annuitäten- bzw. Rentenzahlung zum Ende der Jahre 1, 2, ..., t aus und berechnet deren Kapitalwert im Jahr 0. Solche Rentenzahlungen zum Ende einer Periode heißen auch nachschüssige Renten, im Gegensatz zu '''vorschüssigen Renten,''' die zu Beginn einer Periode gezahlt werden. Eine Rente, die zu Beginn einer Periode gezahlt wird, kann vereinfachend wie eine Rente zum Ende der jeweiligen Vorperiode behandelt werden. Dies entspricht einer Annuitätenzahlung in den Perioden 0, 1, 2, ..., t-1. Damit lässt sich eine solche vorschüssige Rente durch einfaches Abzinsen der nachschüssigen Rente bestimmen.


			=== Wachsende periodische Zahlungen ===

			Statt eines gleichbleibenden kann auch ein über mehrere Perioden hinweg wachsender Betrag bestimmt werden, der dem Kapitalwert entspricht. Dies kann beispielsweise interessant sein, wenn der periodisch wiederkehrende Betrag einen Inflationsausgleich bzw. eine Kaufkrafterhaltung oder Wiederbeschaffungskosten berücksichtigen soll. Rechnerisch einfach lassen sich diejenigen Fälle behandeln, in denen ein periodisches Wachstum um einen konstanten absoluten Betrag oder um einen konstanten Prozentsatz (Wachstumsrate) vorgesehen ist. Sie entsprechen einer arithmetisch oder geometrisch wachsenden Reihe von t Zahlungen.


	== Investitionsbeurteilung anhand der Annuität ==		== Investitionsbeurteilung anhand der Annuität ==

Wikimeister: /* Berechnung der Annuität */

2011-02-22T15:07:58Z

Berechnung der Annuität

← Nächstältere Version		Version vom 22. Februar 2011, 17:07 Uhr
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	(ii) ein jährlich wiederkehrender Betrag ist von der Größenordnung vielfach einfacher zu beurteilen als der im [[Kapitalwert]] ausgedrückte einmalige Wertzuwachs.		(ii) ein jährlich wiederkehrender Betrag ist von der Größenordnung vielfach einfacher zu beurteilen als der im [[Kapitalwert]] ausgedrückte einmalige Wertzuwachs.

	== Berechnung der Annuität ==		== Rechnen mit Annuitäten ==

			=== Berechnung der Annuität ===

	Aus diesen beiden Überlegungen heraus ergibt sich auch die Berechnung der Annuität. Die Zahlung der Annuität über eine festgelegte Anzahl von t Perioden muss gleichwertig sein zu den unregelmäßigen Projektzahlungen und auch zu deren Kapitalwert.		Aus diesen beiden Überlegungen heraus ergibt sich auch die Berechnung der Annuität. Die Zahlung der Annuität über eine festgelegte Anzahl von t Perioden muss gleichwertig sein zu den unregelmäßigen Projektzahlungen und auch zu deren Kapitalwert.
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	Für einen Zinssatz von 10 % und eine Laufzeit von drei Jahren ergibt sich ein Wiedergewinnungsfaktor w<sub>10%, 3</sub> = 0,402115.		Für einen Zinssatz von 10 % und eine Laufzeit von drei Jahren ergibt sich ein Wiedergewinnungsfaktor w<sub>10%, 3</sub> = 0,402115.


	== Kapitalwertberechnung mit dem Rentenbarwertfaktor ==		== Kapitalwertberechnung mit dem Rentenbarwertfaktor ==

Wikimeister: /* Berechnung der Annuität */

2011-02-22T15:04:06Z

Berechnung der Annuität

← Nächstältere Version		Version vom 22. Februar 2011, 17:04 Uhr
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	== Berechnung der Annuität ==		== Berechnung der Annuität ==

	Aus diesen beiden Überlegungen heraus ergibt sich auch die Berechnung der Annuität. Die Zahlung der Annuität über eine festgelegte Anzahl von T Perioden muss gleichwertig sein zu den unregelmäßigen Projektzahlungen und auch zu deren Kapitalwert.		Aus diesen beiden Überlegungen heraus ergibt sich auch die Berechnung der Annuität. Die Zahlung der Annuität über eine festgelegte Anzahl von t Perioden muss gleichwertig sein zu den unregelmäßigen Projektzahlungen und auch zu deren Kapitalwert.

	Bezeichnet man den Kapitalwert des Projekts mit C, den Zinsfaktor q = (1 + p) und die Annuität mit B, so gilt:		Bezeichnet man den Kapitalwert des Projekts mit C, den Zinsfaktor q = (1 + i) und die Annuität mit B, so gilt:

	Kapitalwert Annuität über T Perioden = Kapitalwert des Projekts		Kapitalwert der Annuität über t Perioden = Kapitalwert des Projekts

	Multipliziert man beide Seiten dieser Bedingungsgleichung mit q^t bzw. q^t+1, so erhält man ~~die~~ die beiden Bedingungen:		Multipliziert man beide Seiten dieser Bedingungsgleichung mit q<sup>t</sup> bzw. q<sup>t+1</sup>, so erhält man die beiden Bedingungen:

			C · q<sup>t+1</sup> = B · q<sup>t</sup> + B · q<sup>t-1</sup> + B · q<sup>t-2</sup> + ... + B · q<sup>2</sup> + B · q
	C · q^t+1 = B · q^t + B · q^t-1 + B · q^t-2 + ... + B · q^2 + B · q

	und		und

	C · q^t = B · q^t-1 + B · q^t-2 + B · q^t-3 + ... + B · q + B		C · q<sup>t</sup> = B · q<sup>t-1</sup> + B · q<sup>t-2</sup> + B · q<sup>t-3</sup> + ... + B · q + B

	Subtraktion der zweiten Bedingung von der ersten führt zu:		Subtraktion der zweiten Bedingung von der ersten führt zu:

	C · (q^t+1 - q^t+1) = B · q^t - B		C · (q<sup>t+1</sup> - q<sup>t</sup>) = B · q<sup>t</sup> - B

	Auflösen nach B ergibt:		Auflösen nach B ergibt:

	B = (q-1)· q^t/(q^t - 1) · C		B = (q-1)· q<sup>t</sup>/(q<sup>t</sup> - 1) · C

			Die Annuität ist daher ein Bruchteil des Kapitalwertes. Dieser Bruchteil heißt '''Annuitätenfaktor''' w<sub>i,t</sub>. Seine Höhe hängt vom Zinsfaktor q bzw. vom Zinssatz i sowie von der Anzahl t der Perioden ab, über die die Annuität gezahlt wird. Es gilt:

			w<sub>i,t</sub> = (q-1)· q<sup>t</sup>/(q<sup>t</sup> - 1) mit q = 1+i.

			Für einen Zinssatz von 10 % und eine Laufzeit von drei Jahren ergibt sich ein Wiedergewinnungsfaktor w<sub>10%, 3</sub> = 0,402115.


			== Kapitalwertberechnung mit dem Rentenbarwertfaktor ==

			Der Kehrwert des Annuitätenfaktors heißt '''Rentenbarwertfaktor.''' Der Name verdeutlicht, dass der Barwert einer Reihe von Zahlungen in gleichbleibender Höhe (dies wird in der Finanzmathematik als '''Rente''' bezeichnet) durch Multiplikation der Rente mit dem Rentenbarwertfaktor berechnet werden kann. Der Rentenbarwertfaktor hängt damit ebenfalls nur vom Zinssatz i und der Laufzeit t der Rente ab und lautet:

			RBF<sub>i,t</sub> = (q<sup>t</sup> - 1)/((q-1)· q<sup>t</sup>).

			Für das obige Beispiel einer Annuität über drei Jahre ergibt sich bei einem Zinssatz von 10% ein Rentenbarwertfaktor RBF<sub>10%, 3</sub> = 2,48685.


			== Kapitalwert einer ewigen Rente ==

			Über den Rentenbarwertfaktor lässt sich der Kapitalwert einer gleichförmigen Zahlung in den Perioden 0, 1, 2, ..., t berechnen. Fällt diese Zahlung unbegrenzt an, spricht man von einer '''ewigen Rente.''' Ihr Kapitalwert lässt sich über den Grenzwert des Rentenbarwertfaktors für t->∞ bestimmen. Der Rentenbarwertfaktor vereinfacht sich dann auf 1/i. Damit gilt für den Kapitalwert einer ewigen Rente in Höhe von B:

			C = B/i.


	Die Annuität ist daher ein Bruchteil des Kapitalwertes. Dieser Bruchteil heißt '''Annuitätenfaktor''' wp,t. Seine Höhe hängt vom Zinsfaktor q bzw. vom Zinssatz p sowie von der Anzahl der Perioden ab, über die die Annuität gezahlt wird.		== Vorschüssige und nachschüssige Annuitäten (Renten) ==

	~~Der Kehrwert des Annuitätenfaktors heißt~~ '''~~Rentenbarwertfaktor.~~''' ~~Der Name verdeutlicht~~, ~~dass~~ der ~~Barwert~~ einer ~~Reihe von Zahlungen~~ in ~~gleichbleibender Höhe (dies wird in der Finanzmathematik als~~ Rente ~~bezeichnet)~~ durch ~~Multiplikation~~ der Rente ~~mit dem Rentenbarwertfaktor berechnet werden kann~~.		Die bisherige Annuitätenrechnung geht von einer Annuitäten- bzw. Rentenzahlung zum Ende der Jahre 1, 2, ..., t aus und berechnet deren Kapitalwert im Jahr 0. Solche Rentenzahlungen zum Ende einer Periode heißen auch nachschüssige Renten, im Gegensatz zu '''vorschüssigen Renten,''' die zu Beginn einer Periode gezahlt werden. Eine Rente, die zu Beginn einer Periode gezahlt wird, kann vereinfachend wie eine Rente zum Ende der jeweiligen Vorperiode behandelt werden. Dies entspricht einer Annuitätenzahlung in den Perioden 0, 1, 2, ..., t-1. Damit lässt sich eine solche vorschüssige Rente durch einfaches Abzinsen der nachschüssigen Rente bestimmen.

	== Investitionsbeurteilung anhand der Annuität ==		== Investitionsbeurteilung anhand der Annuität ==

Wikimeister am 6. Januar 2011 um 20:45 Uhr

2011-01-06T20:45:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Januar 2011, 22:45 Uhr
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	Die Annuität ist zur Beurteilung von Investitionsprojekten aus zwei Gründen von Interesse:		Die Annuität ist zur Beurteilung von Investitionsprojekten aus zwei Gründen von Interesse:

	(i) ein Betrag in gleichbleibender Höhe ist deutlich einfacher zu beurteilen als die im Allgemeinen ungleichmäßige Folge der ursprünglichen Projektzahlungen;		(i) ein Betrag in gleichbleibender Höhe ist deutlich einfacher zu beurteilen als die im Allgemeinen ungleichmäßige Folge der ursprünglichen Projektzahlungen;

	(ii) ein jährlich wiederkehrender Betrag ist von der Größenordnung vielfach einfacher zu beurteilen als der im [[Kapitalwert]] ausgedrückte einmalige Wertzuwachs.		(ii) ein jährlich wiederkehrender Betrag ist von der Größenordnung vielfach einfacher zu beurteilen als der im [[Kapitalwert]] ausgedrückte einmalige Wertzuwachs.

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	Die Annuität ist daher ein Bruchteil des Kapitalwertes. Dieser Bruchteil heißt '''Annuitätenfaktor''' wp,t. Seine Höhe hängt vom Zinsfaktor q bzw. vom Zinssatz p sowie von der Anzahl der Perioden ab, über die die Annuität gezahlt wird.		Die Annuität ist daher ein Bruchteil des Kapitalwertes. Dieser Bruchteil heißt '''Annuitätenfaktor''' wp,t. Seine Höhe hängt vom Zinsfaktor q bzw. vom Zinssatz p sowie von der Anzahl der Perioden ab, über die die Annuität gezahlt wird.

	Der Kehrwert des Annuitätenfaktors heißt ~~auch~~ '''Rentenbarwertfaktor.''' Der Name verdeutlicht, dass der Barwert einer Reihe von Zahlungen in gleichbleibender Höhe (dies wird in der Finanzmathematik als Rente bezeichnet) durch Multiplikation der Rente mit dem ~~Rentenbarwert~~ berechnet werden kann.		Der Kehrwert des Annuitätenfaktors heißt '''Rentenbarwertfaktor.''' Der Name verdeutlicht, dass der Barwert einer Reihe von Zahlungen in gleichbleibender Höhe (dies wird in der Finanzmathematik als Rente bezeichnet) durch Multiplikation der Rente mit dem Rentenbarwertfaktor berechnet werden kann.

			== Investitionsbeurteilung anhand der Annuität ==

			Da die Annuität eine Umrechnung des Kapitalwerts ist, wird sie auch in vergleichbarer Weise zur Projektbeurteilung eingesetzt:
			* Die Durchführung eines Projekts mit positiver Annuität ist besser als seine Unterlassung.
			* Beim Vergleich mehrerer, sich ausschließender Projekte (Auswahlentscheidung) ist dasjenige mit der höchsten Annuität vorzuziehen. Dies setzt aber voraus, dass die Projekte von gleicher Dauer sind. Andernfalls sind die Annuitäten der Projekte auf einen einheitlichen Zeitraum umzurechnen und anschließend zu vergleichen.
			* Beim Vergleich alternativer Investitionsprogramme ist dasjenige mit der höchstens Annuität optimal - wiederum unter der Voraussetzung, dass die Annuität über den gleichen Zeitraum berechnet wurde.

			== Vor- und Nachteile der Annuität als Investitionsbeurteilungskriterium ==

			Wegen der gemeinsamen Berechnungsgrundlagen entsprechen die Vor- und Nachteile der Annuität denen des [[Kapitalwert\|Kapitalwerts]]. Als zusätzlicher Vorteil gilt gemeinhin, dass die Annuität eher dem üblichen Verständnis eines jährlichen Gewinns entspricht und ihre Höhe daher entsprechend eingeschätzt werden kann. Als zusätzlicher Nachteil gegenüber dem Kapitalwert ist die Abhängigkeit der Annuität vom Zeitraum, über den die Zahlungen verteilt werden, zu erwähnen.

Wikimeister am 6. Januar 2011 um 20:20 Uhr

2011-01-06T20:20:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Januar 2011, 22:20 Uhr
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	~~Der '''interne Zinsfuß''' ist eine Kennzahl zur Beurteilung von Investitionsprojekten. Er wird berechnet als derjenige Kalkulationszinssatz, bei dem~~ der Kapitalwert eines Projekts null ist. Da er auf der Kapitalwertberechnung mit ihrer differenzierten und periodenspezifischen Erfassung künftiger Zahlungen beruht, gehört er zu den Verfahren der [[dynamische Investitionsrechnung\|dynamischen Investitionsrechnung]].		== Idee der Annuität ==

	~~== Berechnung des internen Zinsfußes ==~~		Die '''Annuität''' bezeichnet in der [[Investitionsrechnung]] und der Finanzmathematik einen Betrag, der über eine bestimmte Anzahl an Perioden in gleichbleibender Höhe gezahlt wird.

	~~Zur Berechnung des internen Zinsfußes wird~~ die [[~~Kapitalwertfunktion~~]] in Abhängigkeit des Kalkulationszinssatzes formuliert und auf ihre Nullstellen untersucht. Je nach Anzahl der berücksichtigten Planperioden ergibt dies ein Polynom höheren Grades. In einfachen Fällen lassen sich die Nullstellen explizit bestimmen (etwa als Lösung einer entsprechenden quadratischen Gleichung für zweiperiodige Projekte).		Die Annuität ist zur Beurteilung von Investitionsprojekten aus zwei Gründen von Interesse:
			(i) ein Betrag in gleichbleibender Höhe ist deutlich einfacher zu beurteilen als die im Allgemeinen ungleichmäßige Folge der ursprünglichen Projektzahlungen;
			(ii) ein jährlich wiederkehrender Betrag ist von der Größenordnung vielfach einfacher zu beurteilen als der im [[Kapitalwert]] ausgedrückte einmalige Wertzuwachs.

	~~Für längere Projekte mit mehr als zwei Perioden ist auf Näherungsverfahren zurückzugreifen. Das bekannteste davon ist das Newtonsche Näherungsverfahren.~~		== Berechnung der Annuität ==

	~~Bei Standardprojekten, deren Zahlungsreihe mit einer Auszahlung beginnt und die anschließend nur zu Rückzahlungen habt,~~ ergibt sich ~~eine eindeutige Nullstelle als interner Zinsfuß~~. ~~Bei Projekten mit Vorzeichenwechseln in~~ der ~~Zahlungsreihe ergeben sich mehrere Nullstellen als mögliche interne Zinsfüße, die nicht alle sinnvoll interpretierbar sind~~.		Aus diesen beiden Überlegungen heraus ergibt sich auch die Berechnung der Annuität. Die Zahlung der Annuität über eine festgelegte Anzahl von T Perioden muss gleichwertig sein zu den unregelmäßigen Projektzahlungen und auch zu deren Kapitalwert.

	=~~= Projektbeurteilung~~ mit ~~dem internen Zinsfuß ==~~		Bezeichnet man den Kapitalwert des Projekts mit C, den Zinsfaktor q = (1 + p) und die Annuität mit B, so gilt:

	~~Ein Projekt ist vorteilhaft~~, ~~wenn sein interner Zinsfuß größer~~ ist ~~als der Kapitalmarktzinssatz~~. ~~Dieses Kriterium ermöglicht die Beurteilung einfacher Projekte (d~~.h. von ~~Projekten~~, die ~~mit~~ einer ~~Auszahlung beginnen und für die anschließend nur mit positiven Einzahlungsüberschüssen gerechnet~~ wird).		Kapitalwert Annuität über T Perioden = Kapitalwert des Projekts

			Multipliziert man beide Seiten dieser Bedingungsgleichung mit q^t bzw. q^t+1, so erhält man die die beiden Bedingungen:


			C · q^t+1 = B · q^t + B · q^t-1 + B · q^t-2 + ... + B · q^2 + B · q

			und

			C · q^t = B · q^t-1 + B · q^t-2 + B · q^t-3 + ... + B · q + B

			Subtraktion der zweiten Bedingung von der ersten führt zu:

			C · (q^t+1 - q^t+1) = B · q^t - B

			Auflösen nach B ergibt:

			B = (q-1)· q^t/(q^t - 1) · C

			Die Annuität ist daher ein Bruchteil des Kapitalwertes. Dieser Bruchteil heißt '''Annuitätenfaktor''' wp,t. Seine Höhe hängt vom Zinsfaktor q bzw. vom Zinssatz p sowie von der Anzahl der Perioden ab, über die die Annuität gezahlt wird.

			Der Kehrwert des Annuitätenfaktors heißt auch '''Rentenbarwertfaktor.''' Der Name verdeutlicht, dass der Barwert einer Reihe von Zahlungen in gleichbleibender Höhe (dies wird in der Finanzmathematik als Rente bezeichnet) durch Multiplikation der Rente mit dem Rentenbarwert berechnet werden kann.

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Die Seite wurde neu angelegt: „Der '''interne Zinsfuß''' ist eine Kennzahl zur Beurteilung von Investitionsprojekten. Er wird berechnet als derjenige Kalkulationszinssatz, bei dem der Kapitalw…“

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Der '''interne Zinsfuß''' ist eine Kennzahl zur Beurteilung von Investitionsprojekten. Er wird berechnet als derjenige Kalkulationszinssatz, bei dem der Kapitalwert eines Projekts null ist. Da er auf der Kapitalwertberechnung mit ihrer differenzierten und periodenspezifischen Erfassung künftiger Zahlungen beruht, gehört er zu den Verfahren der [[dynamische Investitionsrechnung|dynamischen Investitionsrechnung]].

== Berechnung des internen Zinsfußes ==

Zur Berechnung des internen Zinsfußes wird die [[Kapitalwertfunktion]] in Abhängigkeit des Kalkulationszinssatzes formuliert und auf ihre Nullstellen untersucht. Je nach Anzahl der berücksichtigten Planperioden ergibt dies ein Polynom höheren Grades. In einfachen Fällen lassen sich die Nullstellen explizit bestimmen (etwa als Lösung einer entsprechenden quadratischen Gleichung für zweiperiodige Projekte).

Für längere Projekte mit mehr als zwei Perioden ist auf Näherungsverfahren zurückzugreifen. Das bekannteste davon ist das Newtonsche Näherungsverfahren.

Bei Standardprojekten, deren Zahlungsreihe mit einer Auszahlung beginnt und die anschließend nur zu Rückzahlungen habt, ergibt sich eine eindeutige Nullstelle als interner Zinsfuß. Bei Projekten mit Vorzeichenwechseln in der Zahlungsreihe ergeben sich mehrere Nullstellen als mögliche interne Zinsfüße, die nicht alle sinnvoll interpretierbar sind.

== Projektbeurteilung mit dem internen Zinsfuß ==

Ein Projekt ist vorteilhaft, wenn sein interner Zinsfuß größer ist als der Kapitalmarktzinssatz. Dieses Kriterium ermöglicht die Beurteilung einfacher Projekte (d.h. von Projekten, die mit einer Auszahlung beginnen und für die anschließend nur mit positiven Einzahlungsüberschüssen gerechnet wird).