Sicherheitsäquivalent bei exponentieller Nutzenfunktion

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Wichtige betriebswirtschaftliche Entscheidungs- und Anreizmodelle nutzen die rechentechnischen Vorteile aus, die bestimmte Risikonutzenfunktionen und Annahmen zur Wahrscheinlichkeitsverteilung bieten. Eine rechentechnisch besonders vorteilhafte Kombination liegt bei exponentieller Risikonutzenfunktion und normalverteilter Zufallsvariablen vor, da sie eine einfache geschlossene Berechnung des Sicherheitsäquivalents erlaubt. Auf dieser Kombination beruht bspw. das LEN-Modell der Prinzipal-Agenten-Theorie.

Herleitung des Sicherheitsäquivalents

Eine exponentielle Nutzenfunktion u(x) = -exp(-r · x) bezüglich der Zufallsvariablen x weist eine konstante absolute Risikoaversion r auf. Sie gehört damit zur Klasse der CARA-Risikonutzenfunktion (CARA = Constant absolute risk aversion). Für diese Nutzenfunktion lässt sich bei normalverteilter Zufallsvariable x als Ergebnisgröße das Sicherheitsäquivalent in besonders einfacher Form ausdrücken. Dies gilt auch, wenn die Ergebnis­größe x(a) linear in Abhängigkeit einer Einflussgröße a (bspw. der Anstrengung) und eines normalverteilten Störterms e mit Erwartungswert null und Varianz σ² ausgedrückt werden kann. Setzt man

CE LEN 01.png mit CE LEN 02.png und damit wegen E(b · a) = μ(a) auch CE LEN 03.png,

dann bestimmt sich das Sicherheitsäquivalent (Certainty Equivalent) der exponentiellen Nutzenfunktion CE LEN 04.png aus dem Erwartungswert des Ergebnisses abzüglich einer Risikoprämie:

CE LEN 05.png.

Das Ausmaß der Risikoprämie hängt von der Risikoaversion der Nutzenfunktion (gemessen durch das Arrow-Pratt-Risikomaß r) sowie der Varianz des Ergebnisses ab.

Die Herleitung des Sicherheitsäquivalents beruht darauf, dass der Erwartungsnutzen E[u(a)] gleich dem Nutzen des Sicherheitsäquivalents u(SÄ(a)) ist. Für den erwarteten Nutzen E[u(a)] in Abhängigkeit der Anstrengung a gilt (zur übersichtlicheren Darstellung werden im Folgenden nur μ und σ verwendet):

CE LEN 06.png

Substituiert man nun den Exponenten gemäß

CE LEN 07.png,

so erhält man den Erwartungsnutzen

CE LEN 08.png.


Anmerkung 1: Bei anderen Nutzenfunktionen lässt sich diese Form des Sicherheitsäquivalents nur näherungsweise über Taylor-Approximationen herleiten.


Anmerkung 2: Substitution des Exponenten in der Erwartungsnutzenberechnung

Bei der Berechnung des Erwartungswerte des Nutzens bei exponentieller Nutzenfunktion und normalverteilten Ergebnisgrößen lässt sich die Substitution

CE LEN 07.png

durch folgende Umformung der rechten Seite herleiten:

CE LEN 13.png


Anwendung auf lineare Entlohnungsfunktionen

Diese Berechnung des Sicherheitsäquivalents lässt sich auch auf Nutzenfunktionen von Ergebnissen bzw. Entlohnungen mit fixen und variablen Bestandteilen sowie Arbeitsleid übertragen. Dies wird insbesondere im LEN-Modell ausgenutzt. Dort wird für den Agenten ebenfalls eine exponentielle Nutzenfunktion uA mit normalverteilter Ergebnis- bzw. Entlohnungsgröße unterstellt (vgl. Burr/Stephan/Werkmeister [Unternehmensführung 2011] xxx):

CE LEN 09.png

mit rA als Risikoaversionskoeffizien, CE LEN 10.png als Arbeitsleidfunktion und CE LEN 11.png als lineare Entlohnungsfunktion des Agenten mit dem Prämienfaktor v für die erfolgsabhängige Entlohnung und dem Fixum f. Dann gilt für das Sicherheitsäquivalent SÄ des Agenten:

CE LEN 12.png.

Dies lässt sich ohne Weiteres durch eine entsprechende Exponentensubstitution herleiten. Bemerkenswert ist lediglich, dass der Prämienfaktor v auch die Varianz des Ergebnisses beeinflusst und daher in die Risikoprämie eingeht.


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siehe auch:
Christensen/Feltham: Economics of Accounting I: Information in Markets. Boston et al. 2003, S. 54f.;
Burr/Stephan/Werkmeister: Unternehmensführung. 2. Aufl., München 2011.