Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen

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In zahlreichen betriebswirtschaftlichen Anwendungen wird eine normalverteilte Zufallsvariable unterstellt. Hier wird die Berechnung der beiden zentralen Risikokennzahlen Erwartungswert und Varianz für diesen Verteilungstyp erläutert.


Berechnung des Erwartungswerts

Der Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen x (mit x ~ N(μ; σ²) mit Dichtefunktion f(x) wird wie folgt definiert:

Ewert NV 01.png

Zur Vereinfachung substituiert man den Exponenten der Exponentialfunktion Ewert NV 10.png mit Ewert NV 11.png und Ewert NV 12.png. Zudem verwendet man die Zerlegung Ewert NV 13.png. Dann lautet der gesuchte Erwartungswert:

Ewert NV 05.png

Einsetzen in die Definitionsgleichung und Umformen führt zu:

Ewert NV 15.png.


Alternative Berechnung des Erwartungswerts

Einen ähnlichen Weg zur Integralberechnung erhält man mit Ewert NV 03.png und Ewert NV 04.png, der Zerlegung Ewert NV 06.png sowie der Substitution des konstanten Ausdrucks Ewert NV 02.png. Mit ihnen erhält man den Ausdruck

Ewert NV 07.png.

und bildet das gesuchte Integral über die zerlegte Form. Nach den nötigen Umformungen ergibt sich der Erwartungswert μ:

Ewert NV 08.png

wegen

Ewert NV 09.png.


Berechnung der Varianz

Die Berechnung der Varianz erfolgt am einfachsten als Differenz: σ² = E(x)² – E(x²): Dazu ist der Erwartungswert E(x²) zu berechnen. Dies geschieht analog zur Berechnung von E(x):

Ewert NV 16.png

Damit gilt für die Varianz:

Ewert NV 17.png.

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siehe auch:
Ruhm, Karl H.: Kennwerte der Normalverteilung. Internet-Portal "Wissenschaft und Technik des Messens"; Dokument: http://www.mmm.ethz.ch/dok01/d0000411.pdf.