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Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen: Unterschied zwischen den Versionen
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Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen (Quelltext anzeigen)
Version vom 11. Mai 2011, 15:42 Uhr
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In zahlreichen betriebswirtschaftlichen Anwendungen wird eine normalverteilte Zufallsvariable unterstellt. Hier wird die Berechnung der beiden zentralen [[Risikokennzahl|Risikokennzahlen]] Erwartungswert und Varianz für diesen Verteilungstyp erläutert. | |||
==Berechnung des Erwartungswerts== | |||
Der Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen x (mit x ~ N(μ; σ²) mit Dichtefunktion f(x) wird wie folgt definiert: | Der Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen x (mit x ~ N(μ; σ²) mit Dichtefunktion f(x) wird wie folgt definiert: | ||
[[Datei:Ewert_NV_01.png]] | [[Datei:Ewert_NV_01.png]] | ||
Zur | Zur Vereinfachung substituiert man den Exponenten der Exponentialfunktion [[Datei:Ewert_NV_10.png]] mit [[Datei:Ewert_NV_11.png]] und [[Datei:Ewert_NV_12.png]]. Zudem verwendet man die Zerlegung [[Datei:Ewert_NV_13.png]]. Dann lautet der gesuchte Erwartungswert: | ||
[[Datei:Ewert_NV_05.png]] | |||
Einsetzen in die Definitionsgleichung und Umformen führt zu: | |||
[[Datei:Ewert_NV_15.png]]. | |||
[[Datei: | ==Alternative Berechnung des Erwartungswerts== | ||
Einen ähnlichen Weg zur Integralberechnung erhält man mit [[Datei:Ewert_NV_03.png]] und [[Datei:Ewert_NV_04.png]], der Zerlegung [[Datei:Ewert_NV_06.png]] sowie der Substitution des konstanten Ausdrucks [[Datei:Ewert_NV_02.png]]. Mit ihnen erhält man den Ausdruck | |||
[[Datei:Ewert_NV_07.png]]. | |||
und bildet das gesuchte Integral über die zerlegte Form. Nach den nötigen Umformungen ergibt sich der Erwartungswert μ: | und bildet das gesuchte Integral über die zerlegte Form. Nach den nötigen Umformungen ergibt sich der Erwartungswert μ: | ||
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[[Datei:Ewert_NV_09.png]]. | [[Datei:Ewert_NV_09.png]]. | ||
==Berechnung der Varianz== | |||
Die Berechnung der Varianz erfolgt am einfachsten als Differenz: σ² = E(x)² – E(x²): | |||
Dazu ist der Erwartungswert E(x²) zu berechnen. Dies geschieht analog zur Berechnung von E(x): | |||
[[Datei:Ewert_NV_16.png]] | |||
Damit gilt für die Varianz: | |||
[[Datei:Ewert_NV_17.png]]. | |||
___<br> | |||
siehe auch:<br> | |||
Ruhm, Karl H.: Kennwerte der Normalverteilung. Internet-Portal "Wissenschaft und Technik des Messens"; Dokument: http://www.mmm.ethz.ch/dok01/d0000411.pdf. | |||